Жаутыковын нэрэмжит олон улсын математикийн XIII олимпиад

Эхний өдөр

1.  Хурц өнцөгт адил хажуут биш ABC гурвалжныг багтаасан тойрог \omega, ортотөв H, AB талын дундаж цэг M байг. \omega тойргийн C цэгийг агуулаагүй AB нум дээр  P ба Q цэгүүдийг \angle ACP=\angle BCQ<\angle M байхаар авав.  H цэгээс CQ ба CP шулуунуудад буулгасан перпиндикуляруудын сууриудын харгалзан R ба  S гэж тэмдэглэе.  P, Q, R, S  цэгүүд M төвтэй тойрог дээр оршихыг батал.

2.  Аливаа x , y\in\mathbb{R} хувьд \bg_white (x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x)) нөхцлийг хангах f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} бүх функцыг ол.

3. 1\times 1 квадратуудаас тогтох тэгш өнцөгтийг 1\times 2 даалуунуудаар хучив. Уг тэгш өнцөгтийн талууд дээр болон дотор орших бүх зангилааны цэгүүдийг гурван өнгөөр дараах нөхцлийг хангахаар будаж болохыг батал.

Нөхцөл нь: Хоорондоо 1 зайтай аливаа хоёр зангилааны цэгийн хувьд тэдгээрийг холбосон хэрчим нь ямар нэг даалууны хилд агуулагдаж байвал өөр өнгөтэй, эсрэг тохиолдолд ижил өнгөтэй байна.

Жич: Албан бус эх сурвалжаас авсан болно. 

Бодлого бүр 7 оноо

Мэдээлэлийг оруулсан Olympiad.mn admin

comments to "Жаутыковын нэрэмжит олон улсын математикийн XIII олимпиад "